Метод релаксации переменных при решении систем линейных уравнений

Математичне утворення дає програмістові можливість простіше й оптимальніше побудувати як сам алгоритм, так і програму.

Сьогодні серйозні компанії працюють над новими мовами програмування й засобами реалізації коду. Так, завдяки Б.Страуструпу було уведено об ’ єктно - орієнтоване програмування, створений їм мова C++ відкрив перед програмістами нові обрії. Але час не коштує на місці й C++ перестає бути популярним, на зміну йому приходить JAVA, що має винятково класову структуру, написані на ньому програми займають менший об'єм пам'яті й виконуються набагато швидше. Але деякі мови не мають об’єктно - орієнтованої структури еволюціонували й представляють саму перспективну галузь серед інших мов, такими мовами є Delphi (Остання версія якого - 2006), Visual Basic 2005(Visual Studio 2005). У своєму проекті я буду використовувати Borland C++ версії 4.5, тому що вважаю його найбільш оптимальним для поставленої мною задачі. 1.1 Загальна характеристика методів рішення систем лінійних рівнянь.

Способи вирішення систем лінійних рівнянь в основному розділяються на дві групи: 1) точні методи, що представляють собою кінцеві алгоритми для обчислення корінь системи ( до таких методів ставляться: правило Крамера, метод Гаусса, метод головних елементів, метод квадратних корінь і ін.), і 2) ітераційні методи, що дозволяють одержувати корінь системи із заданою точністю, шляхом збіжних нескінченних процесів (до їхнього числа належать метод ітерацій, метод Зейделя, метод релаксації і ін.). Внаслідок неминучих округлень результати навіть точних методів є наближеними, причому оцінка погрішностей корінь у загальному випадку скрутна. При використанні ітераційних процесів, поверх того, додається погрішність методу. Однак ефективне застосування ітераційних методів істотно залежить від вибору початкового наближення й швидкості збіжності процесу. 1.2 Метод релаксації змінних систем лінійних рівнянь П.З.: Дана система лінійних рівнянь, необхідно знайти та ін. Нехай маємо наступну систему лінійних рівнянь: (1) Перетворимо цю систему в такий спосіб: перенесемо вільні члени ліворуч і розділимо перше рівняння на - і т.д. Тоді одержимо систему, приготовлену до релаксації, (2) де и. Нехай початкове наближення рішення системи (2). Підставляючи ці значення в систему (2), одержимо нев'язання (3) Якщо однієї з невідомих дати приріст зменшиться на величину збільшаться на величини в 0, досить величині дати приріст і ми будемо мати: и при Метод релаксації (по-російському: ослаблення) у його найпростішій формі полягає в тім, що на кожному кроці перетворюють у нуль максимальну по модулі нев'язання шляхом зміни значень відповідного компонента наближення.

Процес закінчується, коли всі нев'язання останньої перетвореної системи будуть рівні 0 із заданою точністю.

Питання про збіжність цього процесу ми залишаємо без розгляду . 1.3 Використання метода релаксації змінних в системах лінійних рівнянь на прикладі Приклад.